证明Borel-Cantelli引理

引理简介

Borel-Cantelli引理是概率论中的一种基本结果，它表明，若一组事件的交集的概率为零，那么这组事件中只有有限个事件会发生。这个引理在概率测度的定义和应用中经常遇到，尤其是在概率收敛定理中用到。下面我们将证明这一引理。

第一步：证明Borel-Cantelli引理中的无限集合中事件的无重叠性

在Borel-Cantelli引理中，我们需要证明在无限集合中事件的无重叠性。假设对于一组事件$A_i$，存在$i < j$使得$A_i$和$A_j$有交集，即$A_i \\cap A_j \ eq \\varnothing$。那么，我们可以得到以下不等式：

$$P(\\bigcup_{n=1}^\\infty A_n) \\geq P(A_i \\cup A_j) \\geq P(A_i) + P(A_j) - 1$$

其中，$-1$是由于$A_i \\cap A_j$的概率大于等于0。现在，我们假设所有事件$A_i$的概率都是$p > 0$，那么当$i \\rightarrow \\infty$时，有：

$$P(\\bigcup_{n=1}^\\infty A_n) \\geq 2p - 1 > 0$$

这与原来的前提矛盾。因此，我们可以得出结论：在无限集合中，事件是无重叠的。

第二步：证明Borel-Cantelli引理中的极限存在

现在我们需要证明Borel-Cantelli引理中的极限存在。假设$B_n$表示事件$\\bigcup_{k=n}^\\infty A_k$发生的集合。则：

$$\\begin{aligned} P(\\bigcap_{n=1}^\\infty \\bigcup_{k=n}^\\infty A_k) &= P(\\lim_{n \\rightarrow \\infty} B_n) \\\\ &= \\lim_{n \\rightarrow \\infty} P(B_n) \\\\ &= \\lim_{n \\rightarrow \\infty} P(\\bigcup_{k=n}^\\infty A_k) \\\\ &= \\lim_{n \\rightarrow \\infty} (1 - P(\\bigcap_{k=n}^\\infty A_k)) \\\\ &= 1 - \\lim_{n \\rightarrow \\infty} P(\\bigcap_{k=n}^\\infty A_k) \\end{aligned}$$

由于事件是无重叠的，所以有：

$$\\bigcap_{k=n}^\\infty A_k \\subseteq \\bigcap_{k=n+1}^\\infty A_k$$

由此可得：

$$P(\\bigcap_{k=n}^\\infty A_k) \\geq P(\\bigcap_{k=n+1}^\\infty A_k)$$

因此，我们可以得出下列结论：

$$1 \\geq P(\\bigcup_{k=n}^\\infty A_k) \\geq P(\\bigcap_{k=n}^\\infty A_k) \\geq P(\\bigcap_{k=n+1}^\\infty A_k) \\geq 0$$

由此可知，$\\lim_{n \\rightarrow \\infty} P(\\bigcap_{k=n}^\\infty A_k)$存在。

第三步：证明Borel-Cantelli引理

现在，我们可以证明Borel-Cantelli引理。假设事件$A_n$满足$\\sum_{n=1}^\\infty P(A_n) < \\infty$。那么：

$$\\begin{aligned} P(\\limsup_{n \\rightarrow \\infty} A_n) &= P(\\bigcap_{n=1}^\\infty \\bigcup_{k=n}^\\infty A_n) \\\\ &= 1 - P(\\bigcup_{n=1}^\\infty \\bigcap_{k=n}^\\infty A_n) \\\\ &= 1 - P(\\bigcap_{n=1}^\\infty \\bigcap_{k=n+1}^\\infty A_n) \\\\ &= 1 - \\lim_{n \\rightarrow \\infty} P(\\bigcap_{k=n+1}^\\infty A_k) \\\\ &= 1 \\end{aligned}$$

最后一步是由于$\\sum_{n=1}^\\infty P(A_n) < \\infty$，故$\\lim_{n \\rightarrow \\infty} P(\\bigcap_{k=n+1}^\\infty A_k) = 0$。因此，我们得出结论，如果$\\sum_{n=1}^\\infty P(A_n) < \\infty$，那么$\\limsup_{n \\rightarrow \\infty} A_n$概率为1。

至此，我们证明了Borel-Cantelli引理。