Var(x)与D(x)：搞懂标准差与方差的差异

区分标准差与方差的意义

许多人在学习统计学时，往往会混淆方差（variance）和标准差（standard deviation）这两个概念。然而，从数学定义和实际计算的角度来看，它们有着很大的差异，即便在实际使用中，也要根据具体情况选择有意义的量来描述数据的变异程度。下面从理论和应用两个方面探讨方差和标准差的差异。

方差与样本标准差的差异

在许多学习统计学的教材中，方差和标准差是最基本的统计量之一。方差用来衡量样本的离散度，即一个总体中每个样本与总体均值的差的平方和的平均值。

公式（1）
$$D(x)=\\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^n(x_i-\\bar{x})^2$$

而样本标准差是方差开根号得出的数据，即样本的标准偏差。由于方差本身是平方和所以其单位是平方的，而标准差则消除了这种平方的数量。样本标准差通常用$\\widehat{\\sigma}$表示。

公式（2）
$$\\widehat{\\sigma}=\\sqrt{D(x)}$$

最明显的差异就是方差强调了样本值和样本均值之间的差异，而标准差则仅仅强调了样本值之间的差异，而不是样本均值和样本值之间的差异。标准差通常是更实用的统计量，因为它消除了方差所引入的单位问题，而且可以更加容易地反映数据的分布情况。接下来我们通过一个例子来更好地理解这两个概念之间的关系。

应用实例

假设你要对某一学校的学生的成绩进行分析。首先你需要计算平均成绩，然后再计算每个学生的成绩与平均成绩之间的差的平方和的平均数。这样就得到了方差，然后你再开根得到标准偏差。比如，如果所有学生的分数如下：

65, 70, 72, 75, 78

那么我们可以先求出这5个数据的和并计算平均值，结果为72。接着我们计算每个学生的成绩与平均成绩之间的差的平方和，结果为44。那么我们可以得出样本的方差。

公式（3）
$$D(x)=\\frac{1}{5}[(65-72)^2+(70-72)^2+(72-72)^2+(75-72)^2+(78-72)^2]$$

计算得出，样本方差D(x)为17.2。接下来我们求出标准差：

公式（4）
$$\\widehat{\\sigma}=\\sqrt{D(x)}=\\sqrt{17.2}$$

最终计算得出，标准差$\\widehat{\\sigma}$约等于4.15。这个结果告诉了我们，这个样本的五个数据与平均值之间的差异大约为4.15分。因此，我们可以得出结论，学生成绩的差异还是比较大的。

通过这个例子我们可以看到，方差和标准差都有自己重要的意义，但它们的含义是不一样的。在实际应用中，我们需要考虑数据的单位和分布情况等因素来选择合适的统计量，才能更好地描述样本数据的特征。